Започва боксовата си кариера в школата на ЦСКА. Преди да започне да тренира бокс е тренирал 1 година футбол. Състезава се в категорията на най-тежките — над 91 кг. Пулев е избран за спортист на февруари 2008 г. Брат му – Тервел Пулев, също е известен боксьор.
Кубрат Пулев е европейски шампион по бокс в гр. Ливърпул през 2008 г. в категория над 91 кг.
Става носител на Интернационалната титла на IBF в тежка категория, след победа над Травис Уолкър с единодушно съдийско решение, през 2011 година. На 5 май 2012 г. става европейски шампион в тежка категория в мач с Александър Димитренко - спаринг партньор на братята Кличко.
От 2009 г. е в професионалния бокс и постига успехи само за две години и половина. Понастоящем Кубрат Пулев тежи 114 кг и е висок 194 см.
През 2012 г. печели европейската титла на Европейския боксов съюз в тежка категория. На 29 септември в Хамбург Пулев се изправя срещу руския боксьор Александър Устинов и защитава двете си титли, като побеждава Устинов (202 см, 136 кг) в тежък двубой. Пулев нокаутира руснака в 11-тия рунд. По този начин, освен че защитава титлите си, получава шанс да се изправи срещу световния шампион Владимир Кличко през 2013 година. Спортист на годината на България за 2012 г. Мъж на годината за 2013г.
На 24 август 2013 г. побеждава по точки Тони Томпсън.
Световният боксьор на България Кубрат Пулев получи приза „Родолюбец“ номер 1 за 2013 година.
На 14 декември 2013 г. Кобрата побеждава американеца Джоуи Ейбъл чрез технически нокаут в мач за защита на интернационалната си титла на Международната боксова федерация
